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 I numeri trascendenti

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certaindeath
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MessaggioTitolo: I numeri trascendenti   Gio Nov 29, 2007 6:13 pm

Se non ne avete mai sentito perlare, i numeri tracendenti sono una categoria di numeri.(bè fino a qui ci eravate arrivati, eh? Very Happy )
Ma non quei tipi di numeri che ogni giorno qualcuno se ne inventa uno nuovo(sto parlando dei numeri "perfetti", numeri "amici", numeri triangolari, quadrati ecc.) , sono proprio una categoria a parte(come i numeri naturali, razionali, ecc.).
Prima di tutto:
- sono numeri reali(ebbene sì, esistono anche quelli immaginari, ma magari ci dedicherò un'altro tutorial)
- sono numeri irrazionali, e in particolare non algebrici. Questo significa che non sono riconducibili a una frazione o a un'alavamento a potenza, o più precisamente a una forma polinomiale del tipo:


link immagine: http://xhacker.altervista.org/a1.JPG
sono numeri trascendenti: il pi greco, il numero di nepero, la costante di Liouville, ecc.

ma se non sono il risultato di una frazione o di un elevamento a potenza(il che comprende anche le radici, perchè saprete che radice A di B = A elevato a 1/B), cosa sono???

se provate a cercare su google, vi vengono fuori una serie di formule che sono davvero mostruse, ma che se vi piace la matematica e avrete voglia di ragionarci un po' su, cominceranno a piacervi.

allora, con voi ho deciso di spiegarvi passo-passo, una di quelle formule.
il numero che analizzeremo sarà quello di Liouville, un matematico che nel 1884 per dimostrare l'esistenza dei numeri trascendenti ha inventato questo numero:

link immagine: http://xhacker.altervista.org/a2.png

allora, andiamo con ordine:

quella spece di E vuol dire sommatoria; cioè che il numero da ottenere è la somma di un tot di numeri.

10 alla meno k punto esclamativo(così l'ho letta io la prima volta) starebbe per 10 elevato alla meno k fattoriale

dovete sapere che il fattoriale di un numero non è altro che il prodotto di tutti i numri interi più minori o uguali a esso maggiori di zero. es 4!(4 fattoriale) = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 facile, no?

k = 1 significa che dobbiamo sommare tutti i 10 elevato a - k fattoriale partendo a sostituire k con 1, e seguendo con i suoi successori(2, 3, 4...) fino ad arrivare(spostate lo sguardo sopra la E) a infinito.

in sostaza si comincia con: 10 elevato a -( 1!) più 10 elevato a -(2!) più 10 elevato a - ( 3!)..... fino ad arrivare all'infinito; e otterremo il numero di Liouville.

Naturalmente non si può arrivare all'infinito(come di co e sempre riperterò) quindi si può solo approssimare il numero,
facendo il massimo di addizzioni possibili( e in questo senso il calcolatore elettronico ci aiuta molto perchè lo possiamo sfruttare per ottenere una buona approssimazione.

Allora, chi mi fa un programma che calcola il numero di Liouville?(approssimato).

Finisco questo tutorial con le gocce di sudore che incominciano a scendermi dalla fronte, consapevole di avervi introdotto quella serie di numeri che per i metematici hanno un fascino tutto loro(mettere un numero trascendente in una operazione o un teorema significa copmplicarsi parecchio la vita, e per i matematici complicarsi la vita è d'obbligo)


Ultima modifica di il Lun Dic 17, 2007 6:38 pm, modificato 12 volte
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The_Nano93
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Ven Nov 30, 2007 7:12 pm

Molto interessante!
Io ho fatto un programma in c++ per calcolare il numero di Liouville, però se lo compilo mi da numeri che non centrano niente con il numero di Liouville (che dovrebbe essere 0,110001000......) eppure a me sembra giusto. Qualcuno mi sa dire l'errore?

Codice:

#include <iostream>
#include <Math.h>

main () {
    using namespace std;
    float liouville = 0;
    double exp = 1, prec;
    cout << "Con quanta precisione vuoi calcolare il munero di Liouville?" << endl;
    cout << "Inserisci un numero:" << endl;
    cin >> prec;
    for (double num = 1; num <= prec; num++) {
        for (double fatt = 1; fatt <= num; fatt++) {
            exp = exp * fatt;
        }
        liouville = liouville + pow(10, 1/exp);
    }
    cout << "Il numero di Liouville e' " << liouville << endl << endl;
    system ("pause");
}
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darkphantom
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Ven Nov 30, 2007 9:15 pm

ecco un programmino carino per il calcolo del pi greco:
Codice:

while 1:
    a=input("precisione")
    c=1
    for b in range(1,a+1,1):
        d=(4.0000000000*(b**2.0000000000))/((4.0000000000*(b**2.0000000000))-1.0000000000)
        c*=d
    print c*2
N.B. a 10000000 il mio sistema va in botta
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BlackLight
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Ven Nov 30, 2007 11:41 pm

Eh eh ho creato anch'io un programmino per il calcolo approssimato di PI greco, sfruttando però un metodo più 'raffinato' (calcolo approssimato tramite il metodo dei rettangoli dell'integrale di 1/(1+x^2) tra 0 e 1).

http://xhack.forumitalian.net/programmazione-f3/perl-c-java-algoritmo-per-il-calcolo-approssimato-di-pi-t36.htm

Versione in Perl, Java e C Wink

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Sab Dic 01, 2007 11:02 pm

diciamo per farla semplice che sono i numeri immaginari... ditemi se erro...
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Sab Dic 01, 2007 11:18 pm

No no...i numeri immaginari sono tutt'altra cosa, numeri esprimibili come il prodotto di un numero reale per la costante immaginaria 'i' (definibile come radice di -1). Ci sono poi i numeri complessi, esprimibili in funzione di una parte reale e una parte immaginaria. Un numero trascendente invece è sempre un numero reale, ma con un numero infinito di cifre dopo la virgola senza alcun periodo.

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Lun Dic 03, 2007 5:16 pm

e le cifre si ripetono senza un criterio... no?

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Nel software esiste sempre almeno un bug, generalmente è localizzabile tra la tastiera e la sedia

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Lun Dic 03, 2007 8:39 pm

Certo, se le cifre si ripetessero con un criterio sarebbero numeri razionali periodici, e quindi esprimibili sotto forma di frazione di numero interi Very Happy

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certaindeath
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Mer Dic 05, 2007 6:07 pm

certo; si chiamo irrazionali per un motivo....

@darkphantom da quando si cuzzano gli algoritmi degli altri? chi ti ha dato il permesso? Very Happy

ecco un mio programma in c che sfrutta lo stesso procedimento:

Codice:

#include <stdio.h>

main(){
      double pig;
      long long int i;
      long int steps;
      float perc;
      scanf("%ld", &steps);
      pig = 2;
      i = 1;
      for(i=1; i<=steps; i++){
                pig = pig * (4*(pow(i, 2)))/((4*(pow(i, 2)))-1);
                perc = (100*i)/steps;
                printf("\n %f percento ", perc);
      }
      printf("\n %.40lf ", pig);
}

in autoit(con tanto di ultra-stilosa progress-bar)

Codice:

$a = InputBox("" , "" )
$result = 1
$b = 1
ProgressOn( "", "", "", Default, Default, 18 )
While $b <= $a
   $result *= (4*($b^2))/((4*($b^2))-1)
   $b += 1
   ref_perc($b, $a)
WEnd
$result *= 2

$file = FileOpen ( "numb.txt", 1 )
FileWrite( $file, $result)
FileClose ( $file )

MsgBox(0, "", "done" )

Func ref_perc($var, $step)
      $perc = 0
      If $var <> $step Then
   ProgressSet ( (100* $var)/$step, (100* $var)/$step & " percento", "Il pi_greco è :" & $result * 2  )
      Else
   ProgressOff()
      EndIf
EndFunc


e infine uno sempre in autoit, che usa un'algoritmo più simile a quello di blacklight(che sfrutta un'integrale numerico)
questa volta le progrssbar sono quattro, per necessità di programmazione.

Codice:

Func calc_min($pass)
   Dim $min[$pass]
   $a = 1
   $temp = 0
   $return = 0
   ProgressOn( "", "", "", Default, Default, 18 )
            While $a < $pass
       $temp = $a/$pass
      $min[$a-1] = (1/$pass)*((1-($temp^2))^(1/2))
      $a += 1
                          ref_perc($a+1, $pass)
   WEnd
   $a = 1
   ProgressOn( "", "", "", Default, Default, 18 )
            While $a < $pass
       $return += $min[$a-1]
      $a += 1
                          ref_perc($a+1, $pass)
            WEnd
   Return $return*4
EndFunc

Func calc_max($pass)
   Dim $min[$pass]
   $a = 1
   $temp = 0
   $return = 0
   ProgressOn( "", "", "", Default, Default, 18 )
            While $a < $pass
       $temp = ($a-1)/$pass
      $min[$a-1] = (1/$pass)*((1-($temp^2))^(1/2))
      $a += 1
                          ref_perc($a+1, $pass)
   WEnd
   $a = 1
   ProgressOn( "", "", "", Default, Default, 18 )
            While $a < $pass
       $return += $min[$a-1]
      $a += 1
                          ref_perc($a+1, $pass)
            WEnd
   Return $return*4
EndFunc

$a = InputBox("", "")
$var = (calc_min($a)+calc_max($a))/2
$file = FileOpen ( "numb.txt", 1 )
FileWrite( $file, $var)
FileClose ( $file )
MsgBox(0, "", "done" )

Func ref_perc($var, $step)
   $perc = 0
   If $var <> $step Then
      ProgressSet ( (100* $var)/$step, (100* $var)/$step & " percento")
   Else
      ProgressOff()
   EndIf
EndFunc

c'è un po' di problema di allineamento, ma più o meno si capisce
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darkphantom
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 6:19 pm

ehi, certain, ma quello con la "progressbar super stilosa" è lentissimo!
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 6:25 pm

i know... ma basta che lo modifichi(sei capace benissimo)
(non toccare l'algoritmo che non lo sai fare....)

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 6:40 pm

ehi, certain, da quando "sa" si scrive con l'accento? quindi mi sa che quindi ti boccio!
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 6:55 pm

quindi mi sa che è meglio che stai zitto che senno certain si incazza e ti banna.. io pero sono admin...
ahahahahahahah certain ha sbagliato, certain ha sbagliato, certain ha sbagliato!!!!!!!!!!!!!!

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 6:57 pm

scusate, ma prima di fare mea culpa ditemi dove ho sbagliato...
(non vedo nessun "sa"con l'accento)

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 6:59 pm

guarda nella firma....

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 7:00 pm

ok, provvedo, ma come firma non è male, no?

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 7:00 pm

guarda meglio... (indizio: la firma!)
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 7:01 pm

phantom ti sei perso un post...

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 7:04 pm

ma che cacchio! quei post non c'erano quando ho postato io! non vale!
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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 7:05 pm

ah! ti ho fregato

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MessaggioTitolo: Re: I numeri trascendenti   Gio Dic 06, 2007 7:06 pm

esiste un tastino (occultato apposta per evitare che i buffoni lo trovino) e reca la scritta "Refresh", zitto, però... non dirlo in giro... ssshhhh

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