Numeri Immaginari

Ho visto che esistono un paio di topic che fanno riferimento ai numeri immaginari e ho pensato di spiegarli..

Dunque partiamo dalla regola generale della radice quadrata che afferma: "Non esiste la radice quadrata di un numero negativo perché non esiste nessun numero reale il cui quadrato risulti un numero negativo"

ed è per questo che esistono i numeri immaginari.
Premettendo che sqrt(n) è la radice quadrata di n analizziamo:

Codice:

sqrt(-25)

può essere scritto anche come:

Codice:

sqrt(-1) * sqrt(25)

ovvero:

Codice:

sqrt(-1) * 5

ora poniamo sqrt(-1) = i :

Codice:

i5

con "i" intendiamo un numero appunto immaginario(poiché nessun numero reale elevato.. etc...) il cui quadrato risulti -1


Ora le operazioni tra numeri complessi:

Per quando riguarda somme e differenze vanno trattati come i monomi:

Codice:

i + 2i = 3i
2i - 7i = -5i

o meglio:

ai + bi = (a + b)i

Quando ci si viene a trovare incontro a prodotti o quozienti, o meglio quando si va a parlare di potenze, le cose cambiano, infatti sappiamo che
i^2 (i elevato al quadrato) = -1

quindi avremo:

Codice:

ai * bi = (a * b)i^2

e diventerà:

-(a * b)

si può notare che le potenze di i sono periodiche(cicliche con periodo 4):

Codice:

...

i^-2 = -1

i^-1 = -i

i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = -1

i^3 = -i

i^4 = 1

...

e quindi si può scrivere più semplicemente:

Codice:

i^(4n) = 1

i^(4n + 1) = i

i^(4n + 2) = -1

i^(4n + 3) = -1

Poi ci sarebbero i numeri complessi, ma finisco qua che devo andare all'allenamento di basket, fatemi sapere se non è chiaro.
Ciao

buona guida; la base dei numeri immaginari è proprio quetsa.
I numeri complessi ti escono fuori quando risolvi certa equazioni di grado superiore a 2.
Ma non vi dico più niente e lascio continuare Hex Destroyer.

P.S.
ecco una delle formule più notevoli della matematica: l'identità di eulero.

Codice:

e^iπ = -1

sorprendente, no?

Eh eh per quanto possa sembra 'strana' la formula di Eulero è semplicemente un caso particolare della rappresentazione polare dei numeri complessi...

Un numero complesso si può infatti rappresentare sia in forma algebrica-cartesiana come x + iy, sia in forma polare, in funzione del suo modulo e della sua fase, come

Codice:

Me^iθ = M(cos θ + i sin θ)

Nel caso particolare di M=1 e θ=π abbiamo

Codice:

e^iπ = cos π + 0 = -1

Per maggiori approfondimenti sui numeri complessi, http://blacklight.gotdns.org/wiki/index.php/Numeri_complessi

sì i numeri immaginari sono legati ai numeri reali,
per esempio i^i=e^π.
e sono legati anche ai numeri primi.
e qui bisognerebbe fare il discorso sull'ipotesi di Riemann, e sulla funzione zeta.
sto leggendo un libro su questo argomento: "L'enigma dei numeri primi"