Frattali

Inizio premettendo che entro stasera non riusciro' a completare il lavoro, quindi ci mettero' un paio di giorni.

detto questo posso iniziare stupendo i lettori, affermando che i frattali NON hanno DIMENSIONE INTERA!!!

Ebbene si, i frattali hanno dimensioni che possono essere numeri non interi; quindi mentre abbiamo un punto che e' a dimensione 0, una retta a dimensione 1, un quadrato a dimensione 2, un cubo a dimensione 3, un ipercubo a dimensione 4 ecc.ecc., i frattali possono avere dimensioni irrazzionali, tipo 1,2628...

spiegare il perche' di cio' sarebbe un po assurdo senza prima avere introdotto un frattale, quindi iniziamo da uno dei piu facili:

- L'insieme di Cantor.

questo insieme e' composto da infiniti punti, e si ottiene procedendo nel seguente modo:

Codice:

ho un segmento            ___________________________

tolgo la parte centrale
pari ad 1/3                _________          _________

ripeto il processo sopra  ___  ___          ___  ___

ora di nuovo              _ _  _ _          _ _  _ _

e vad oavanti cosi' all'infinito..

ragionando ognuno capira' che muovendosi in questo modo all'infinito avro' un insieme formato da infiniti punti, quelli non rimossi.
Ora analizziamo un attimo a quanto equivale la somma di tutti le parti tolte. Vale 1/3 nel primo passaggio, 2/9 nel secondo, 4/27 nel 3, andando avanti cosi'...si nota che la formula e' 2^(n-1)/3^n...sommando tutti questi termini, ovvero facendo la sommatoria di tutti gli elementi, da n=1 a n=>infinito, ottengo come risultato 1..

arrivati a sto punto mi direte k vi ho mostrato un insieme di punti che hanno una proprieta' carina, ma che non vi ho fatto capire xke' ha una dimensione non intera..

ecco la risposta..non tutti lo sanno ma la dimensione di un oggetto si calcola (secondo il metodo di Hausdorff, o come si scrive) log(d)/log(z), dove 'd' e 'z' sono rispettivamente l'incremento di grandezza e lo zoom..facendo un esempio, dal quale si capisce qlks di più, se io prendo un quadrato e gli applico uno zoom 2 (ovvero 200%) la grandezza del quadrato e' incrementata a 4...
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zoommo di 2

__ __
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e la grandezza e' aumentata di 4!!

ora applico la formula e risulta: log(4)/log(2)=2

provo con il segmento, zoommo 2 e il segmento raddoppia: log(2)/log(2)=1

proviamo con un cubo?? disegnarlo non riesco ma guardate in giro e troverete di siuro un cubo..la grandezza diventa 8 volte tanta ma lo zoom e' sempre 2...se facessi uno zoom 3 otterrei un'incremento di grandezza 27...proviamo: log(/log(2)=log(27)/log(3)=3

ora avete capito il calcolo delle dimensioni...ora guardiamolo nell'insieme di Cantor..

io zoommo di 3 volte e la grandezza non aumenta di 3 volte...perche' mi trovo con una parte centrale in meno..la grandezza aumenta solo di 2...quindi se applico la formula ottengo: log(2)/log(3)=0.63092975357145743709952711434276 e ancora una caterba di numeri, dato che il numero di dimensioni di cantor e' irrazzionale...

ora avete capito piu' o meno perche questo benedetto insieme abbia dimensione non reale...se non siete convinti andate a leggere le cose nel dettaglio, perche' io ho riassunto in un concetto facile, su wikipedia cercate Dimensione di Hausdorrf (sempre ammesso che si scrivesse così), poi ditemi se avete piu o meno dubbi XD

cmq ora vi ho spiegato le dimensioni ma non vi ho detto un tubo sui frattali...ecco i frattali sono delle figure geometriche che se zoommate, mantengono caratteristiche simili se non uguali all'infinito..

ora pero' devo andare a nanna, quindi lascio in sospeso il lavoro..nella prossima puntata vi spieghero' i vari tipi di frattali, perche prendono queste colorazioni e il julia set...intanto se volete provare a calcolare le dimensioni dei frattali calcolatevi quelle di queste figure:

Triangolo di sierpinski
Curva di koch (o fiocco di neve)

e xke' no...la dimensione delle coste della GranBretagna, dei polmoni, di una foglia ^^

ps..odio il code k mi sbaglia tutto e se non metto il code sbaglia ancora di piu...